POLÍGONOS INSCRITOS EJERCICIOS RESUELTOS

Podemos crear polígonos a partir de conocer el lado del polígono o bien apartir de la circunferencia donde están inscritos.

Conociendo el radio de la circunferencia donde se inscribe un polígono, en este apartado se determinarán las operaciones a realizar para llegar a la construcción del citado polígono.

Distribución:

1. Características generales.
2. Construcción de un pentágono inscrito en una circunferencia.
3. Construcción de un hexágono inscrito en una circunferencia.
4. Construcción de un heptágono inscrito en una circunferencia.
5. Construcción de un octógono inscrito en una circunferencia.
6. Construcción de un eneágono inscrito en una circunferencia.
7. Construcción de un decágono inscrito en una circunferencia.

Todos los casos que veremos a continuación, tienen como dato de inicio, el radio de la circunferencia donde están inscritos los polígonos.
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Desarrollo

3.4.1.Características generales.

Cuando un polígono tiene todos sus vértices en la circunferencia, el polígono recibe el nombre de polígono inscrito en una circunferencia. En el caso de que la circunferencia pase por el punto medio de los lados, es decir, el polígono queda por la parte interna de la circunferencia, los polígonos se llaman circunscritos.

POLÍGONOS INSCRITOS.

Los polígonos inscritos en una circunferencia son aquellos que tiene sus vértices sobre la circunferencia. Según esto, los lados del polígono se convierten en cuerdas de la circunferencia.

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POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS.

En el caso de los polígonos circunscritos a una circunferencia, los lados son tangentes a una circunferencia. La circunferencia queda “por dentro” del polígono. El radio de la circunferencia se convierte en la apotema del polígono.

Apotema en un polígono regular es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado.

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3.4.2. Construir un pentágono inscrito en una circunferencia

En este y en el resto de los casos que se presentan en este apartado, nos dan como dato el radio de la circunferencia donde se va a construir el polígono correspondiente.

OPERACIONES:

1. Con el radio (segmento AB) que nos dan como dato, se traza una circunferencia.
2. Donde uno de los dos ejes (horizontal) de la circunferencia corta a la propia circunferencia, por ejemplo el punto A, se traza un arco hasta cortarla, obteniendo los puntos B y C.
3. Uniendo los puntos B y C, obtenemos el punto D.
4. Con centro en D y radio D1, se traza un arco hasta cortar al eje en elpunto E.
5. El segmento 1E será el lado del pentágono mientras que el OE es el lado del decágono. Ahora nos fijaremos en el pentágono.

6. Desde el punto 1, se traza un arco con un radio de 1E. Se obtienen los puntos 2 y 5.

7. Desde el punto 2 y desde el punto 5, se trazan arcos (con el mismo radio) para obtener los puntos 3 y 4.

8. Se juntan todos los puntos y se obtiene elpentágono inscrito en la circunferencia de radio AB.

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3.4.3. Construir un hexágono inscrito en una circunferencia

El caso del hexágono, es un caso singular. La longitud de la circunferencia es2Πr. Adoptando el valor de Π como 3 en vez de 3,14; tenemos que 2×3=6, es decir, podemos utilizar el radio r, para dividir la longitud de la circunferencia en 6 partes.

Evidentemente, esta división no será regular, las partes no serán iguales por lo que se producirá un error debido a la utilización redondeada del valor de Π.

OPERACIONES:

1. Se traza una circunferencia con el radio conocido (segmento AB). Deberemos dividirla en 6 partes iguales.
2. Donde uno de los ejes, por ejemplo el eje horizontal, corta a la circunferencia (punto 0), y con el mismo arco que hemos utilizado para hacer la circunferencia, trazamos un arco que la corta en los puntos 1 y 5.
3. Desde el otro extremo del eje (punto 3), se hace la misma operación obteniendo los puntos restantes 2 y 4. El punto 0 y 6 coinciden, son el mismo punto.
4. Se unen los 6 puntos obteniendo el hexágono inscrito en la circunferencia.

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NOTA

Haciendo este tipo de trazado, primero desde un lado del eje y luego desde el otro, estaremos repartiendo el error producido. Esta solución es la más apropiada.

Si hubiéramos llevado el lado del hexágono (segmento AB) a lo largo de la circunferencia, el último tramo tendría un error mayor.
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3.4.4. Construir un heptágono inscrito en una circunferencia

OPERACIONES:

1. Con el radio (segmento AB) que nos dan como dato, se traza una circunferencia.
2. Donde uno de los dos ejes (horizontal) de la circunferencia corta a la propia circunferencia, por ejemplo el punto A, se traza un arco hasta cortarla, obteniendo los puntos B y C.
3. Uniendo los puntos B y C, obtenemos el punto D.
4. La distancia BD (o bien la DC) es el lado del heptágono inscrito en la circunferencia. Esta medida habrá que llevarla 7 veces a partir de un punto, por ejemplo el punto 1.
5. Para mitigar el posible error, llevaremos tres veces hacia la izquierda (2, 3y 4) y otras 3 vecesa hacia la derecha (7, 6 y 5). El séptimo lado, quedará por defecto en la base.
6. Se unen todos los puntos y se obtiene el heptágono.

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NOTA

Si hemos empezado a distribuir los lados desde el eje vertical, en su punto superior (punto 1), el lado contruido como base (lado 4-5) tiene que ser perpendicular al eje vertical, o bien, paralelo al eje horizontal.

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3.4.5. Construir un octógono inscrito en una circunferencia

OPERACIONES:

1. Con el radio (segmento AB) que nos dan como dato, se traza una circunferencia.
2. Los dos ejes (horizontal y vertical) cortan a la circunferencia en cuatro puntos: 1, 3, 5 y 7.
3. Se trazan las bisectrices de los ángulos formados por los ejes. Se obtienen dos líneas decaladas 45 º con los ejes horizontal y vertical. Estas líneas cortan a la circunferencia en otros cuatro puntos: 2, 4, 6 y 8.
4. Se unen todos los puntos y tenemos el octógono inscrito.

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3.4.6. Construir un eneágono inscrito en una circunferencia

OPERACIONES:

1. Con el radio (segmento AB) que nos dan como dato, se traza una circunferencia.
2. Desde los puntos C y D (donde el eje vertical corta a la circunferencia) se trazan arcos de radio AB. Se obtiene los puntos E y F.
3. Desde C y D se trazan arcos de radio CF (o bien DE). Se obtiene el punto G.
4. Desde el punto G y con radio GC (o bien GD) se traza un arco hasta el eje horizontal, se obtiene el punto H.
5. El segmento IH, es el lado del eneágono inscrito en la circunferencia. Habrá que trasladar esta medida 9 veces, sobre la circunferencia.
6. Se unen los 9 puntos y se obtiene el eneágono inscrito.

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3.4.7. Construir un decágono inscrito en una circunferencia

OPERACIONES:

1. Repetir las operaciones del 1 al 4 correspondientes al apartado 3.4.2.
2. El segmento OH es el lado del decágono inscrito en la circunferencia.
3. A partir del punto 1 se lleva 10 veces el segmento OH.
4. Se unen los 10 puntos y se obtiene el decágono inscrito en la circunferencia.

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NOTA
Igual que en los casos anteriores, para reducir el posible error que se puediera comenter, conviene trazar los puntos desde las dos partes del eje, es decir, a izquierda y a la derecha.

El punto 6 se encuentra en el mismo eje que elpunto 1 y opuesto a él. No será necesario trazarlo.